тоже, что Векторное пространство. В функциональном анализе (См. Функциональный анализ) рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были Гильбертово пространство
и пространство С [
а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [
а, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента
х — неотрицательное число
х = 0 и обладающее свойствами
х и
у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.
В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени Pk-i(t), чтобы
Вводя в пространство С[0,1] норму формулой">
имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой
‖
x‖
⊥=
эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен Pk-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой
и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы ‖x‖⊥ и ‖x‖2 существенно различны, так как, например, последовательность функций
по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции
Следует отметить, что хотя все функции xn(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы ‖x‖2. При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {xn} его элементов, удовлетворяющих условию
существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.
Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой ‖x‖2, получают гильбертово пространство L2p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.
Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством (См. Топологическое пространство), 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.
